2.6.4. Теплопроводность в стержне, концы которого
теплоизолированы
Уравнение теплопроводности относится к уравнениям
параболического типа, описывающим процессы, необратимые во времени.
Рассмотрим простейший процесс такого типа – охлаждение стержня. При
отсутствии тепловых источников температура
,u x t
различных точек
стержня определяется уравнением
2
2
2
uu
a
t
x
, в начальный момент
времени
0t
температура неравномерно нагретого стержня задана
функцией
fx
, т. е. начальное условие (2.53) принимает вид
0
,,
t
u x t f x
где
fx
– заданная функция
0 xl
(
l
– длина
стержня), а краевое условие (2.55) запишется так:
0
0, 0.
x x l
uu
xx
6А9 (Задача о распространении тепла в стержне, концы которого
теплоизолированы). Найти решение уравнения
2
2
2
uu
a
t
x
, (2.57)
удовлетворяющее начальному условию
0
,
t
u x t f x
(2.58)
и краевым условиям
0
0, 0.
x x l
uu
xx
(2.59)
Вводя новую переменную
2
at
и учитывая, что
2
,
u u u
a
tt
2
22
2
,
uu
aa
x
уравнение (2.57) представим в виде
2
2
uu
x
, (2.60)
при этом начальное и краевые условия остаются прежними, так как при
0t
0,
а условия (2.59) от
не зависят.
Решение уравнения (2.60), удовлетворяющее начальному условию
0
,u x f x
(2.61)
и краевым условиям (2.59), будем искать с помощью метода Фурье в виде
произведения двух функций:
,,u x X x T
(2.62)
где
Xx
– функция только от
;x
;
T
– функция только от
.
Поскольку
,
u
X x T
,
u
X x T
x
2
2
,
u
X x T
x
то
подстановка соответствующих выражений в уравнение (2.60) приводит к
соотношению
X x T X x T
или
X x T
X x T
.
Вследствие того, что функция (2.62) является решением уравнения
(2.60), последнее равенство должно выполняться для всех
x
и
(из
соответствующей области их изменения). Это возможно лишь в случае,
когда обе части последнего равенства равны постоянной, так как левая
часть может зависеть только от
,x
а правая – только от
.
Обозначим эту
постоянную как
,c
тогда
,
X x T
c
X x T
откуда
0,T cT
(2.63)
0.X x cX x
(2.64)
Уравнение (2.63) является обыкновенным дифференциальным
уравнением первого порядка. Интегрируя это уравнение, получаем
ln ln ,T c C
ln
,
cC
Te
.
c
T Ce
Поскольку температура не может неограниченно возрастать с
течением времени (источники тепла отсутствуют), то функция
T
обладает тем же свойством. Следовательно, в последней формуле
c
может
быть только отрицательным, т. е.
2
0.c
(2.65)
Итак, функция
T
выражается формулой
2
.T Ce
(2.66)
Уравнение (2.64) с учетом (2.65) принимает вид
2
0.X x X x
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами, которое имеет решение
12
cos sin ,X x C x C x
(2.67)
где
1
C
и
2
C
– произвольные постоянные.
Подставляя функции (2.66) и (2.67) в формулу (2.62), получаем
2
cos sin ,u x x e
(2.68)
где
1
,CC
2
.CC
Частная производная этой функции по
x
выражается формулой
2
sin cos .
u
x x e
x
Числа
,,
выберем так, чтобы удовлетворялись условия (2.59):
2
2
sin0 cos0 0,
sin cos 0;
e
l l e
sin0 cos0 0,
sin cos 0.ll
Из последних уравнений следует, что
0,
sin 0.l
Следовательно,
1, 2,3,l n n
и собственные значения нашей краевой задачи
запишутся в виде
, 1, 2,3,...
n
n
n
l
, (2.69)
где взяты только положительные значения
,n
так как
cos cos ,xx
2
2
;
поскольку
0,
функция (2.68) принимает одинаковые
значения при
и
;
далее
0
в соответствии с условием (2.65). Итак,
функция (2.68) запишется следующим образом:
2
, cos .
n
n n n
u x xe
Или, учитывая (2.69), получаем собственные функции,
соответствующие собственным значениям (2.69):
22
2
, cos .
n
l
nn
nx
u x e
l
(2.70)
Решением уравнения (2.60), удовлетворяющим краевым условиям
(2.59), является сумма ряда, составленного из функций (2.70), т. е. ряда
22
2
11
, , cos .
n
l
nn
nn
nx
u x u x e
l
(2.71)
Коэффициенты
n
этого ряда выберем так, чтобы функция
,ux
удовлетворяла также и начальному условию (2.61):
0
,,u x f x
1
cos .
n
n
nx
fx
l
Последнее равенство означает, что функцию
fx
в промежутке
0, l
необходимо разложить в ряд Фурье по косинусам, коэффициенты такого
разложения определяются формулой
0
2
cos 1, 2,3,...
l
n
nx
f x dx n
ll
(2.72)
Следовательно, функция (2.71), для которой
n
определены
формулой (2.72), является решением уравнения (2.60), удовлетворяющим
начальному (2.61) и краевым (2.59) условиям. Принимая во внимание
равенство
2
,at
приходим к утверждению.
6А+Б10 (Теорема). Функция
2 2 2
2
1
, cos ,
na
t
l
n
n
nx
u x e
l
для которой
n
определены формулой (2.72), является решением
уравнения (2.57), удовлетворяющим начальному (2.58) и краевым (2.59)
условиям.
6А+Б11 (Замечание). Аналогично решается задача о распространении
тепла в стержне, на концах которого поддерживается постоянная
температура. Эта задача о нахождении решения уравнения (2.57),
удовлетворяющего начальному условию (2.58) и следующему краевому
условию
0
0
,
x
uu
.
l
xl
uu
Предварительно задачу необходимо свести к задаче с однородными
краевыми условиями, т. е. с условиями, которым удовлетворяет
тривиальное решение
0.u
При неоднородных условиях
0
(0u
и
0)
l
u
сумма и разность двух функций
1
,u x t
и
2
,u x t
уже не будет
решениями, удовлетворяющими этим условиям. В частности, не является
решением
11
, , 0.u x t u x t
Последнее обстоятельство затрудняет
построение общего решения (2.71).
Приведение к задаче с однородными краевыми условиями можно
осуществить с помощью новой функции
00
, , .
l
x
x t u x t u u u
l
Для этой функции уравнение (2.57) остается прежним, начальное
условие примет вид
0 0 1
00
, , ,
l
tt
x
x t u x t u u u f x
l
а краевые условия станут однородными:
0 0 0 0
00
0
, , 0,
l
xx
x
x
x t u x t u u u u u
l
0 0 0 0
, , 0.
l l l
x l x l
xl
x
x t u x t u u u u u u u
l
